Überblick

Symmetrien lokalisieren

Für lokale Symmetrien lassen sich verallgemeinerte Theoreme herleiten mit möglichen Anwendungen in verschiedenen wellenmechanischen Systemen.

  • Peter Schmelcher und Fotis K. Diakonos
  • 04 / 2016 Seite: 39

Symmetrien sind fundamentale Eckpfeiler der modernen Physik, nicht zuletzt wegen ihrer Bedeutung für die Erhaltungssätze oder die zulässige Form der Wechselwirkung bei Elementarteilchen. Doch in komplexen Systemen zeigen sich oft in verschiedenen begrenzten Raumbereichen unterschiedliche Symmetrien. Ist es möglich, die Theorie der globalen Symmetrien auf solche Systeme mit lokalen Symmetrien zu erweitern? Tatsächlich lassen sich mathematische Instrumente finden, die lokale Symmetrien beschreiben können und neue Perspektiven bieten, etwa für Anwendungen in der Wellenpropagation.

Anordnungen von Objekten, die einer Symmetrie bzw. einem Muster folgen, faszinieren den Betrachter von jeher. Man denke nur an die Vielzahl von Ornamenten, welche sich in Werkzeugen, Alltagsgegenständen bis hin zu Gemälden und Bauwerken der unterschiedlichen historischen Epochen vom Altertum bis zur Neuzeit wiederfinden. Die Motive reichen von einer rein geometrischen und abstrakten Charakteristik bis zu einer naturalistischen Ornamentik. Regelmäßig angeordnete Objekte, welche einer komplexen Kombination von Symmetrien gehorchen, sind von einer ganz eigenen Ästhetik, die das Auge des Beobachters nahezu magisch anzieht.

Für die Entwicklung der modernen Naturwissenschaften stellt die Symmetrie eines der grundlegenden Konzepte dar. Symmetrien liefern ein Rezept, den Aufbau von Systemen zu analysieren und deren Struktur zu klassifizieren. Sie sind unmittelbarer Teil des Abstraktions- und Erkenntnisprozesses. Historisch hat dies seinen Ausgangspunkt in der Gravitationstheorie (Kepler, Galilei, Newton) mit ihrem engen Bezug zur Astronomie und konkret der Bewegung der Planeten um das Zentralgestirn genommen: Die Gravitationstheorie ist invariant unter Galilei-Transformationen. Die Forderung der Invarianz der Naturgesetze, d. h. ihrer Nichtänderung unter entsprechenden Symmetrien, hat sich als einer der mächtigsten Grundpfeiler der modernen Physik erwiesen. Symmetrien sind eng mit entsprechenden Eigenschaften der grundlegenden Komponenten eines Systems verbunden, seien es die Eigenschaften von Raum und Zeit selbst oder die der Wechselwirkung der fundamentalen Bausteine der Materie. Das Vorhandensein von Symmetrien hat unmittelbare Konsequenzen für die Eigenschaften und die Dynamik physikalischer Systeme. Beispiele hierfür sind die Invarianz unter Translationen (Homogenität des Raumes), welche zur Impulserhaltung führt, die Invarianz unter Rotationen (Isotropie des Raumes), welche die Drehimpulserhaltung liefert, und die Invarianz unter Zeittransformationen (Homogenität der Zeit), welche mit der Energieerhaltung verbunden ist...

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