Bose-Einstein-Kondensat in Hofstadters Schmetterling

  • 13. August 2015

Mit ultrakalten Atomen in einem künstlichen Magnetfeld wurde der suprafluide Grundzustand des Harper-Hofstadter-Modells erzeugt.

Hofstadters berühmter Schmetterling wirft seinen Schatten auf Bose-Einstein-Kondensate (BEC) aus Atomen. Forscher um Wolfgang Ketterle haben erstmals ein Kondensat aus ultrakalten Rubidium­atomen erzeugt, das sich in einem Lichtgitter befand und einem starken künstlichen Magnetfeld ausgesetzt war. Das Kondensat war im suprafluiden Grundzustand des Harper-Hofstadter-Modells, das dem schmetterlings­förmigen Spektrum zugrunde liegt.

Abb.: Die im quadratischen Lichtgitter tunnelnden Atome erhalten zusätzliche Phasen. Durch das resultierende Magnetfeld verdoppelt sich die Einheitszelle (grün), während das den Phasen entsprechende Vektorpotential die Einheitszelle sogar vervierfacht. (Bild: C. J. Kennedy et al.)

Abb.: Die im quadratischen Lichtgitter tunnelnden Atome erhalten zusätzliche Phasen. Durch das resultierende Magnetfeld verdoppelt sich die Einheitszelle (grün), während das den Phasen entsprechende Vektorpotential die Einheitszelle sogar vervierfacht. (Bild: C. J. Kennedy et al.)

Wenn auf Elektronen in einem Kristallgitter ein extrem starkes Magnetfeld wirkt, bringt es deren Energiebänder völlig durcheinander und es entsteht ein fraktales Spektrum, das nach seiner Form und seinem Entdecker „Hofstadters Schmetterling“ heißt. Die dafür nötigen Magnetfeldstärken wird man für Kristallelektronen nicht so bald erreichen, doch an Übergittern aus Graphen hat sich der Schmetterling schon bei viel schwächeren Magnetfeldern gezeigt.

Mit ultrakalten Atomen in Lichtgittern hat man viele physikalische Phänomene, wie sie bei Kristallelektronen auftreten, nachbilden und untersuchen können, etwa den Übergang von einem Mott-Isolator zu einem Supraleiter. Auch die Wirkung eines Magnetfeldes auf Elektronen konnte man anhand der elektrisch neutralen Atome studieren. Dazu setzte man die Atome einem künstlichen Magnetfeld aus, indem man ihrer Wellenfunktion eine ortsabhängige Phase gab.

Abb.: Die Impulsverteilung des Bose-Einstein-Kondensat im Lichtgitter ohne (g) und mit (h-j) Magnetfeld. Durch das Magnetfeld halbiert sich die Brillouin-Zone und es treten weitere Maxima auf (h). Durch das Vektorpotential viertelt sich die Brillouin-Zone und es werden zusätzliche Maxima sichtbar. (Bild: C. J. Kennedy et al.)

Abb.: Die Impulsverteilung des Bose-Einstein-Kondensat im Lichtgitter ohne (g) und mit (h-j) Magnetfeld. Durch das Magnetfeld halbiert sich die Brillouin-Zone und es treten weitere Maxima auf (h). Durch das Vektorpotential viertelt sich die Brillouin-Zone und es werden zusätzliche Maxima sichtbar. (Bild: C. J. Kennedy et al.)

Vor zwei Jahren hatten unabhängig voneinander die Gruppen von Wolfgang Ketterle am MIT und Immanuel Bloch am MPI für Quantenoptik in Garching ultrakalte Rubidium-87-Atome in einem Lichtgitter mit zusätzlichen Lichtfeldern dazu gebracht, sich wie Kristallelektronen in einem extrem starken Magnetfeld zu verhalten. Die Lichtfelder gaben den Atomen beim Tunneln von einem Gitterplatz zum nächsten eine Phase. Kehrte ein Atom zu seinem Ausgangspunkt zurück, so hatte es eine Phase gewonnen, die dem vom Rundweg eingeschlossenen künstlichen Magnetfluss entsprach.

Das Verhalten der Atome ließ sich bei beiden Experimenten mit dem Harper-Hofstadter-Operator beschreiben, dessen Spektrum durch Hofstadters Schmetterling gegeben ist. Obwohl in beiden Fällen die Atome anfangs ein Bose-Einstein-Kondensat bildeten, das sich über die Gitterplätze erstreckte, blieben sie nicht in diesem Grundzustand, da sie durch die zeitlich veränderlichen Lichtfelder erwärmt wurden. Doch jetzt ist es Ketterle und seinen Mitarbeitern gelungen, das Kondensat zu erhalten bzw. es im künstlichen Magnetfeld zu erzeugen.

Die MIT-Forscher verteilten ein Bose-Einstein-Kondensat aus etwa 100.000 Rubidiumatomen auf ein Lichtgitter, das aus etwa 200 parallelen Lichtschläuchen bestand, die in einem zweidimensionalen Quadratgitter angeordnet waren. In jedem Schlauch befand sich somit ein Kondensat aus etwa 500 Atomen, die je nach Schlauchlänge mehr oder weniger stark miteinander wechselwirkten. Anhand des Schlauchdurchmessers ließ sich regulieren, ob und wie stark die Atome von einem Schlauch zum nächsten tunneln konnten.

Auf zwei verschiedene Weisen wurde das Kondensat im Lichtgitter dem künstlichen Magnetfeld ausgesetzt. Entweder wurden die zusätzlichen Lichtfelder, die den tunnelnden Atomen eine Phase gaben, plötzlich eingeschaltet. Oder die Atome wurden zunächst daran gehindert zu tunneln, sodass ein Mott-Isolator entstand. Sodann wurde das künstliche Magnetfeld erzeugt und anschließend den Atomen das Tunneln wieder gestattet, wodurch erneut ein Kondensat entstand, das sich über das ganze Lichtgitter erstreckte.

Die Forscher charakterisierten das Kondensat anhand seiner Dichteverteilung im Impulsraum. Diese machten sie dadurch sichtbar, dass sie das gesamte Lichtgitter plötzlich abschalteten, die Kondensatwolke frei expandieren ließen und nach einer bestimmten Zeit die räumliche Verteilung der Atome registrierten. Ohne Magnetfeld ergab sich ein Beugungsbild mit einem Hauptmaximum im Zentrum der quadratischen Brillouin-Zone des Gitters und mit Nebenmaxima an ihrem Rande.

Wurde ein künstliches Magnetfeld eingeschaltet, dessen Stärke einem halben Flussquant pro Gitterzelle entsprach, so verdoppelte sich die räumliche Periode des Lichtgitters – und die Brillouin-Zone halbierte sich. Das war gut am „Beugungsbild“ des Kondensats zu erkennen, das nun zusätzliche Nebenmaxima aufwies.

Doch es gab ein Problem: Die durch die zusätzlichen Lichtfelder erzeugten ortsabhängigen Phasen der Atome, die einem magnetischen Vektorpotential entsprachen, verdoppelten nämlich die räumliche Periode des zweidimensionalen Lichtgitters in beiden Raumrichtungen, sodass sich die Brillouin-Zone eigentlich vierteln musste. Andererseits ist das Vektorpotential im Gegensatz zum Magnetfeld nicht eichinvariant. Kann man also die Viertelung der Brillouin-Zone im Beugungsbild der Atome sehen, obwohl sie nicht eichinvariant ist?

Die Antwort ist: ja! Das gilt allerdings nur für künstliche Magnetfelder. Unter bestimmten Bedingungen konnten die Forscher Beugungsbilder aufnehmen, in denen weitere Maxima auftraten, deren Energien paarweise entartet waren. Je nach Präparation des Bose-Einstein-Kondensats konnte jeweils die Hälfte dieser Maxima durch Interferenz wegfallen, sodass das eichinvariante „magnetische“ Beugungsbild entstand. Es konnten aber auch alle Maxima auftreten, sodass das nicht eichinvariante Beugungsbild sichtbar wurde. Indem Ketterle und seine Mitarbeiter zusätzlich die Wechselwirkungsstärke der Atome erhöhen, können sie auch exotische Materiezustände beobachten, für die es keine Entsprechung in der Natur gibt.

Rainer Scharf

DE

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