Hofstadters Schmetterling mit Bose-Einstein-Kondensat eingefangen

  • 31. October 2013

Ultrakalte Atome in einem Lichtgitter simulieren das Verhalten von Kristallelektronen in einem Magnetfeld.

Hofstadters Schmetterling wird jetzt von mehreren Seiten in die Zange genommen. Deutliche Hinweise auf dieses fraktale Energiespektrum von Kristallelektronen in einem Magnetfeld, wie es Douglas Hofstadter 1976 berechnete, hat man kürzlich an Übergittern aus Graphenschichten beobachtet. Jetzt haben zwei Forscherteams in Deutschland und in den USA mit ultrakalten Atomen in Lichtgittern ein Quantenvielteilchensystem geschaffen, das ebenfalls ein fraktales und schmetterlingsförmiges Energiespektrum besitzen sollte.

Unter der Wirkung eines künstlichen Magnetfeldes bewegen sich Atome in einem Lichtgitter auf zyklotronartigen Bahnen

Abb.: Unter der Wirkung eines künstlichen Magnetfeldes bewegen sich Atome in einem Lichtgitter auf zyklotronartigen Bahnen. (Bild: MPQ)

Bewegen sich Elektronen in einem Kristall, so ordnen sich ihre Energien zu Bloch-Bändern an. Befinden sich die Elektronen hingegen in einem Magnetfeld, so kreisen sie auf Zyklotronbahnen um die Magnetfeldlinien. Dabei fallen ihre gequantelten Energien in die hochgradig entarteten Landau-Niveaus. Doch wie verhalten sich Kristallelektronen in einem Magnetfeld? Ist das Feld schwach, so überdecken die Zyklotronbahnen viele Kristallgitterzellen, sodass die Kristallstruktur keinen Einfluss auf die Landau-Niveaus hat.

Für ein hinreichend starkes Magnetfeld spüren die Zyklotronbahnen jedoch die Kristallstruktur und es kommt gewissermaßen zu einem Wettstreit zwischen Bloch und Landau. Wie Douglas Hofstadter herausgefunden hatte, entsteht dabei ein kompliziertes und selbstähnliches Energiespektrum, das man wegen seiner auffälligen Form als Hofstadter-Schmetterling bezeichnet.

Will man das Hofstadter-Spektrum an Kristallen beobachten, so muss man dafür sorgen, dass der Durchmesser der elektronischen Zyklotronbahnen etwa 0,1 nm beträgt. Dazu müsste man die Elektronen einem Magnetfeld mit einer enormen Stärke von zirka 100.000 Tesla aussetzen. Mit den im Labor erreichbaren, viel schwächeren Magnetfeldern kann man die atomare Gitterstruktur nicht auflösen und deshalb auch den Hofstadter-Schmetterling nicht beobachten.

Deshalb ist man dazu übergegangen, das Energiespektrum von künstlichen Gitterstrukturen zu untersuchen, die eine wesentlich größere räumliche Periode von etwa 100 nm besitzen. Dann sollten deutlich schwächere Magnetfelder dazu ausreichen, den Hofstadter-Schmetterling sichtbar zu machen. Dies ist kürzlich mehreren Forschergruppen mit Hilfe von Übergittern aus Graphen gelungen. Auch bei Quanten-Hall-Messungen an Halbleiterheterostrukturen hatte sich Hofstadters Schmetterling zu erkennen gegeben.

Gut stehen die Chancen, den Hofstadter-Schmetterling auch an künstlichen Kristallen aus ultrakalten Atomen zu beobachten, die in einem Lichtgitter festgehalten werden. Die Voraussetzungen dazu haben jetzt sowohl die Forschungsgruppe von Immanuel Bloch am MPI für Quantenoptik in Garching als auch Wolfgang Ketterle und seine Mitarbeiter am MIT geschaffen. Dabei spielten bosonische Rubidium-87-Atome die Rolle der Kristallelektronen. Das kubische Lichtgitter war so beschaffen, dass sich die Atome nur innerhalb der einzelnen Gitterebenen bewegen konnten.

Beide Forscherteams erzeugten auf dieselbe Weise ein künstliches Magnetfeld, das die Bewegungen der ungeladenen Atome in den Lichtgitterebenen so beeinflusste, als wären sie geladene Teilchen in einem „echten“ Magnetfeld. Dazu prägten sie der Wellenfunktion eines Atoms bei dessen Sprüngen von einem Gitterplatz zum nächsten mit Hilfe zweier Laser eine ortabhängige Phase auf. Durchlief das Atom die vier Eckpunkte einer quadratischen Gitterplakette und kehrte zu seinem Ausgangspunkt zurück, so hatte es eine Phase gewonnen, die proportional zum Produkt aus einer effektiver Ladung und einem künstlichen magnetischen Fluss durch die Plakette war.

In beiden Experimenten waren die Atome eines Bose-Einstein-Kondensats so auf die Ebenen des Lichtgitters verteilt, dass an jedem Gitterplatz höchstens ein Atom saß. Normalerweise konnten die Atome zwischen benachbarten Gitterplätzen quantenmechanisch tunneln. Doch in einer Raumrichtung unterdrückten die Forscher den Tunnelvorgang mit Hilfe eines Magnetfeldgradienten, der durch den Zeeman-Effekt den Atomen eine ortabhängige Energie gab. Dadurch wurden die Energieniveaus in benachbarten Gitterplätzen gegeneinander verstimmt, sodass das Atom zunächst nicht mehr tunneln konnte.

Zwar hätte man dem Atom durch direkte Anregung mit Laserlicht die fehlende Energie übertragen und es dadurch auf den benachbarten Platz bringen können. Doch die dabei unvermeidliche Spontanemission hätte die Atome zu stark gestört. Stattdessen griffen beide Forscherteams zu dem Trick, den Atomen durch Raman-Anregung mit zwei Lasern unterschiedlicher Frequenz und Einstrahlungsrichtung das Tunneln zu ermöglichen. Dadurch wurde für das Atom die Energiedifferenz zwischen den Gitterplätzen ausgeglichen, ohne dass Spontanemission stören konnte.

Anschließend beobachteten die Forscher, wie sich die Atome im Gitter unter dem Einfluss des künstlichen Magnetfeldes auf zyklotronartigen Bahnen bewegten. Die Ketterle-Gruppe konnte zudem zeigen, dass sich der „verstimmende“ Magnetfeldgradient auch durch den Gradienten des Schwerefeldes ersetzen ließ. Dagegen beobachteten Bloch und seine Kollegen das Verhalten von Atomen in zwei verschiedenen Spinzuständen. Dabei bewegten sich die Atome mit unterschiedlichem Spin im künstlichen Magnetfeld in entgegengesetzte Richtungen. Es trat also ein Spin-Hall-Effekt auf.

Wie beide Teams zeigen konnten, beschreibt der Harper-Hamilton-Operator das Verhalten der Atome, dessen Spektrum der Hofstadter-Schmetterling ist. Um dieses Spektrum ansatzweise beobachten zu können, müsste man die ultrakalten Atome jedoch auf noch wesentlich tiefere Temperaturen abkühlen. Doch schon jetzt haben die Experimente der beiden Forschergruppen gezeigt, dass man ultrakalte Atome in Lichtgittern künstlichen Magnetfeldern aussetzen kann, die interessante Möglichkeiten eröffnen. So ließen sich z. B. der Spin-Hall-Effekt sowie topologische Isolatoren untersuchen. Zudem lässt sich das benutzte Verfahren auch auf andere Atome als Rubidium und sogar auf fermionische Atome anwenden.

Rainer Scharf

OD

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