Ideale Turbulenz

  • 06. September 2013

Neue Theorie erklärt Wert der Karmanschen Konstanten.

Turbulenz galt lange als unlösbares Rätsel der Physik. Verteilt über mehr als ein Jahrhundert, wurden stabile Teilergebnisse zur Theorie u. a. von Reynolds, Prandtl, Karman, Kolmogorov, Heisenberg, Weizsäcker, Landau und Feynman vorgelegt. Die Berechnung der turbulenten Hauptparameter aus zeitlich mittleren Strömungsdaten schien jedoch wegen des Fehlens einer geschlossenen Gesamtvorstellung von Turbulenz unerreichbar, wie noch 2011 auf drei internationalen Konferenzen zum Thema in Marseille, Triest und Warschau betont wurde.

Bisherige Versuche, Turbulenz theoretisch zu durchdringen, gingen von den Navier-Stokes-Gleichungen aus. Bei geringer Reibung gelten diese jedoch als singulär gestört. Entsprechend konzentrierten sich die Hoffnungen auf Varianten der Störungstheorie. Der damit verbundene Fragenkreis ist allerdings so komplex, dass er im Jahr 2000 Eingang in die Liste der sieben Millenniumsprobleme des Clay Mathematical Institute fand. Die Lösung ist mit einem Preisgeld von einer Million Dollar dotiert.

Wirbelensemble in voll entwickelter Turbulenz (Bild: M. Wilczek, U. Münster / JHU, m. frdl. Gen.)

Abb.: Wirbelensemble in voll entwickelter Turbulenz (Bild: M. Wilczek, U. Münster / JHU, m. frdl. Gen.)


Einer kürzlich erschienenen Arbeit nach sind zum Verständnis der Turbulenz bei hohen Reynoldszahlen die mathematischen Eigenschaften jener Gleichungen aber ohne Bedeutung. Vielmehr lässt sich die Reibung vollständig vernachlässigen, indem man mit den Eulerschen Gleichungen beginnt und aus deren Lösungsmannigfaltigkeit diejenigen auswählt, die der klassischen Hydrodynamik genügen. Dies sind Dipol-Fadenpaare. Bei entwickelter Turbulenz handelt es sich um ein großes Ensemble solcher Paare, die sich chaotisch im Raum bewegen und kollidieren.

Aus Symmetriegründen entstehen dabei mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder neue Dipole oder Wirbelkombinationen mit jeweils identischem Drehsinn. Infolge mechanischer Instabilität formen sie ein breites, Kolmogorovsches Wirbelspektrum, das Bewegungsenergie von der finiten Ausgangsskala auf die Endskala vom Maß Null transformiert, wo sie in Wärme umgewandelt wird. Phänomenologisch korrespondieren beide Alternativen zur turbulenten Diffusion bzw. zur turbulenten Dissipation.

Die Beschreibung dieser Zufallsprozesse ähnelt der Reaktions-Diffusions-Theorie chemischer Vorgänge mittels Fokker-Planck-Gleichungen und ist frei von empirischen Parametern. Sie stützt sich auf Geometrie, elementare Wirbelgesetze und Fluktuationstheorie und liefert u. a. korrekte Zerfalls- und Wandgesetze. Als ein Nebenprodukt liefert sie neben der Kolmogorovschen auch die Karmansche Konstante in analytischer Form, letztere als (2 π)-1/2 = 0,399. Dieser Wert stimmt gut mit dem internationalen Standardwert 0,40 überein, von dem man bislang annahm, er wäre theoretisch nicht zugänglich.

H. Z. Baumert

OD

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