Blick in die vierte Dimension

  • 10. January 2018

Topologische Pumpe macht vierdimensionalen Quanten-Hall-Effekt sichtbar.

Unter der vierten Dimension versteht man für gewöhnlich die Zeit, seit Albert Einstein 1905 in Zürich die spezielle Relati­vitäts­theorie ent­wickelte. Wie aber kann man sich eine vierte räum­liche Dimen­sion vor­stellen? Einen Ein­blick in die vierte Raum­dimen­sion haben nun zwei Teams von Wissen­schaftlern aus der Schweiz, USA, Deutsch­land, Italien und Israel gewonnen. Der Forscher Oded Zilber­berg von der ETH Zürich schuf die theore­tischen Grund­lagen für die Experi­mente, in denen ein vier­dimen­sio­nales physika­lisches Phänomen in zwei Dimen­sionen beob­achtet werden konnte.

Quanten-Hall-Effekt

Abb.: Ein physikalisches Phänomen in vier Raum­dimen­sionen wurde experi­men­tell reali­siert: mit Licht in Wellen­leitern (ge­schlän­gelte Röhren) und mit kalten Atomen (orange Kugeln) in optischen Gittern. (Bild: Gruppe Zilber­berg, ETH Zürich)

In beiden Experimenten ging es um den Quanten-Hall-Effekt. Üblicher­weise tritt dieser Effekt in Grenz­flächen zwischen zwei Materi­alien auf, in denen Elek­tronen sich nur in zwei Dimen­sionen bewegen können. Ein senk­recht zum Material stehendes Magnet­feld führt dann zum klas­sischen Hall-Effekt. Fließt ein Strom durch das Material, so entsteht senk­recht zur Strom­richtung eine elek­trische Spannung – je größer das Magnet­feld, desto höher die Spannung. Das liegt daran, dass das Magnet­feld eine Kraft erzeugt, die im rechten Winkel zur Bewegungs­rich­tung wirkt und die Elek­tronen ablenkt.

Bei sehr niedrigen Temperaturen und sehr starken Magnetfeldern kommt aller­dings die Quanten­mechanik zum Tragen, so dass die Spannung nicht mehr kontinu­ier­lich, sondern in diskreten Stufen ansteigt. Dieser Quanten-Hall-Effekt lässt sich auch als topo­lo­gisches Phänomen ver­stehen. Die Topo­logie beschreibt beispiels­weise, wie viele Löcher ein Objekt hat und in welche anderen Formen es sich ohne Zer­schneiden um­wandeln lässt. Ähnliche Gesetze führen beim Quanten-Hall-Effekt dazu, dass die Elek­tronen sich nur auf topo­lo­gisch genau bestimmten Bahnen bewegen können. Für bestimmte Stärken des Magnet­felds etwa kann der elek­trische Strom nur an den Rändern des Materials, nicht aber in seinem Inneren fließen.

Vor etwa zwanzig Jahren wurde mathematisch gezeigt, dass es ent­spre­chende topo­lo­gische Effekte auch in vier räum­lichen Dimen­sionen geben sollte. So etwas in Experi­menten tat­säch­lich zu beob­achten, schien jedoch unmög­lich – der physika­lische Raum hat nun einmal nur drei Dimen­sionen. Doch Zilber­berg hatte eine clevere Idee: Mit Hilfe von topo­lo­gischen Pumpen sollte es möglich sein, den beiden realen Dimen­sionen des Quanten-Hall-Effekts noch jeweils eine virtu­elle Dimen­sion hinzu­zu­fügen. Eine topo­lo­gische Pumpe funktio­niert dadurch, dass eine bestimmte Kontroll­größe des physika­lischen Systems modu­liert wird, wodurch sich sein Quanten­zustand im Laufe der Zeit auf charak­teris­tische Weise ändert. Das End­resultat sieht dann so aus, als habe sich das System in einer zusätz­lichen Raum­dimen­sion bewegt. Auf diese Weise kann man theo­re­tisch ein zwei­dimen­sio­nales System in ein vier­dimen­sio­nales ver­wandeln.

Dass dies auch in der Praxis funktioniert, haben Wissenschaftler nun in zwei unab­hängigen Experi­menten gezeigt. Physiker um Mikael Rechts­man an der Penn State Univer­sity in den USA ver­wirk­lichten Zilber­bergs Idee gemein­sam mit der Forschungs­gruppe von Kevin Chen an der Univer­sity of Pitts­burgh, indem sie mit Laser­strahlen ein zwei­dimen­sio­nales Gitter aus Wellen­leitern in einen fünf­zehn Zenti­meter langen Glas­block brannten. Diese Wellen­leiter waren aller­dings nicht gerad­linig, sondern wanden sich schlangen­förmig durch das Glas, so dass die Abstände zwischen ihnen sich ent­lang des Glas­blocks änderten. Licht­wellen, die sich durch die Wellen­leiter bewegten, konnten so je nach Abstand mehr oder weniger leicht in einen benach­barten Wellen­leiter über­springen.

Diese sich stetig verändernden Kopplungen zwischen den Wellen­leitern wirkten als topo­lo­gische Pumpen und ver­doppelten so die Anzahl der Dimen­sionen des Experi­ments von zwei auf vier. Den erwar­teten vier­dimen­sio­nalen Quanten-Hall-Effekt konnten die Forscher nun buch­stäb­lich sehen, indem sie auf einer Seite des Glas­blocks Licht in die Wellen­leiter speisten und mit einer Video­kamera auf­nahmen, was auf der anderen Seite heraus­kam. So wurden zum Beispiel die für den vier­dimen­sio­nalen Quanten-Hall-Effekt charak­teris­tischen Rand­zu­stände, in denen nur aus den Wellen­leitern am Rand des Gitters Licht aus­treten sollte, direkt sicht­bar.

Mit Hilfe von extrem kalten Atomen, die in optischen Gittern aus gekreuzten Laser­strahlen gefangen sind, reali­sierten Immanuel Bloch und seine Mit­arbeiter am MPI für Quanten­optik in München eben­falls topo­lo­gische Pumpen. In ihrem Experi­ment wurde das Pumpen dadurch erreicht, dass die Eigen­schaften der gespaltenen Gitter­töpfe, in denen die Atome ein­ge­fangen waren, perio­disch ver­ändert wurden. Durch Messungen der zwei­dimen­sio­nalen Bewegung der Atome in dem Gitter konnten sie bestätigen, dass sich diese gemäß dem Quanten-Hall-Effekt in vier Dimen­sionen ver­hielten. Ins­beson­dere konnten sie direkt die quanti­sierten Trans­port­phäno­mene beob­achten, die für diesen Fall vorher­gesagt worden waren und die der senk­recht zur Strom­rich­tung ent­stehenden Spannung im gewöhn­lichen, zwei­dimen­sio­nalen Quanten-Hall-Effekt ent­sprechen.

Der praktische Nutzen des Ganzen? „Im Moment sind diese Experi­mente noch meilen­weit von nütz­lichen Anwen­dungen ent­fernt“, gibt Zilber­berg zu. Doch für die Grund­lagen­forschung stellen sie einen wichtigen Fort­schritt dar. Physiker können jetzt nicht nur auf dem Papier, sondern auch experi­men­tell unter­suchen, welche Aus­wir­kungen Phäno­mene aus vier Dimen­sionen in unserer all­täg­lichen drei­dimen­sio­nalen Welt haben können. Ein Beispiel dafür sind Quasi­kristalle in Metall­legie­rungen. In drei Raum­dimen­sionen haben diese zwar keine perio­dische Struktur, doch sieht man sie sich in virtu­ellen höheren Dimen­sionen an, so weisen sie wieder regel­mäßige Muster auf. Und schließ­lich ist da noch die String­theorie, gemäß der höhere Raum­dimen­sionen derart kompakti­fi­ziert sein sollen, dass am Ende unsere normale drei­dimen­sio­nale Welt ent­steht.

ETH / RK

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